Tugas Getaran Mekanik

Nama : Otong Irwan

NPM : 25412613

KLS : 3ic01

Sistem Dua Derajat Kebebasan

PENGERTIAN

Sistem dua derajat kebebasan yang membutuhkan dua buah koordinat bebas untuk menentukan kedudukannya disebut sistem dua-derajat-kebebasan. Sistem dua derajat kebebasan dibagi atas tiga sistem yaitu :

1)      Dalam sistem massa pegas seperti terlihat dalam Gambar 2-1 di bawah ini, bila gerakan massa m_l dan m₂ secara vertikal dibatasi maka paling sedikit dibutuhkan satu koor­dinat x(t) guna menentukan kedudukan massa pada berbagai waktu. Berarti sistem membutuhkan dua buah kordinat bersama-sama untuk menentukan kedudukan massa sistem ini adalah sistem dua derajat kebebasan.

2)      Bila massa m ditumpu dengan dua buah pegas yang sama seperti terlihat dalam Gambar 2-2 di bawah ini gerakannya dibatasi secara vertikal, maka dibutuhkan dua buah kordinat untuk menentukan konfigurasi sistem. Salah satu konfigurasi ini merupakan perpindahan lurus, seperti perpindahan massa x(/). Koordinat yang lain yaitu perpin-dahan sudut, 8(t), yang mengukur rotasi massa. Ke dua koordinat ini satu sama lain bebas oleh karena itu sistem ini adalah sistem dua derajat kebebasan.

3)      Untuk pendulum ganda seperti terlihat dalam Gambar 2-3 di bawah ini, jelas bahwa untuk menentukan posisi massa m1 dan m₂ pada berbagai waktu dibutuhkan dua buah koordinat dan sistem adalah dua derajat kebebasan. Tetapi x1 dan x₂ atau y1 dan y₂, atau θ1 dan θ₂, mungkin merupakan kelompok koordinat sistem ini.

Ø  KOORDINAT UMUM (GENERALIZED COORDINATES)

Seperti yang dibicarakan sebelumnya, adakalanya masih mungkin menentukan konfigurasi sistem dengan lebih dari satu kelompok koordinat bebas atau parameter seperti panjang, sudut, atau beberapa parameter fisik lainnya setiap kelompok koordinat seperti itu disebut koordinat umum (generalized coordinates).

Ø  MODUS NORMAL (NORMAL MODES)

Ada dua buah persamaan gerakan untuk sistem dua derajat kebebasan, satu untuk masing-masing massa. Sebagai hasilnya, ada dua buah frekuensi pribadi untuk sistem dua derajat kebebasan. Frekuensi pribadi diperoleh dengan menyelesaikan persamaan frekuensi (frequency equation) sistem tanpa peredam atau persamaan karakteristik sistem dengan peredam.

Bila massa sistem beroskilasi sedemikian rupa hingga mencapai perpindahan maksimum secara serempak dan melewati titik keseimbangan secara serempak, atau seluruh sis­tem bagian mesin yang bergerak beroskilasi dalam satu fasa dengan satu frekuensi, keadaan gerakan seperti itu disebut modus normal (normal mode) atau modus prinsipal getaran (principal mode of vibration).

Ø  KOORDINAT PRINSIPAL (PRINCIPAL COORDINATES)

Adakalanya diperoleh koordinat khusus sedemikian rupa sehingga tiap persamaan gerakan mengandung hanya satu harga yang tidak diketahui. Lalu persamaan gerakan satu sama lain dapat diselesaikan secara bebas. Koordinat khusus seperti itu disebut koordinat prinsipal (principal coordinates).

Ø  KOORDINATE KOUPLING (COORDINATE COUPLING)

Konsep ini merupakan konsep gerakan koupling di mana getaran salah satu bagian sistem menyebabkan bagian lain dalam sistem yang sama bergetar akibat gaya yang ditransmisikan melalui pegas koupling dan dashpot. Dengan kata lain, perpindahan salah satu massa akan dirasakan oleh massa lain dalam sistem yang sama karena keduanya dikopel. Ada dua tipe koupling : koupling statis yang diakibatkan oleh perpindahan statis, dan koupling dinamis yang diakibatkan oleh gaya inersia.

Ø  PERSAMAAN LAGRANGE

Persamaan Lagrange, untuk koordinat umum q_t dalam bentuk dasar, adalah seperti di bawah ini :

Dimana :

            K.E. = energi kinetis sistem

P.E. = energi potensial sistem = 1/2kx²

D.E. = energi terbuang sistem   = 1`/2cx²

Qi = gaya luar umum yang bekerja pada sistem

Untuk sistem konservatif, persamaan Lagrange bisa dituliskan seperti di bawah ini :

Dimana :

            L = K.E.  - P.E. disebut Lagrangian.

Penggunaan persamaan Lagrange secara langsung akan menghasilkan persamaan gerak­an sebanyak jumlah derajat kebebasan sistem bila dasar pernyataan energi sistem diketahui.

Ø  PENYERAP GETARAN DINAMIS

Penyerap getaran dinamis adalah sistem satu-derajat-kebebasan sederhana, biasanya dalam bentuk sistem massa pegas sederhana. Bila ditambahkan ke sistem satu derajat kebebasan yang lain sebagai sistem pembantu, keseluruhan sistem akan berubah bentuk menjadi dua derajat kebebasan dengan dua buah frekuensi pribadi getaran. Salah satu dari frekuensi pribadi dibuat di atas frekuensi eksitasi sedangkan yang lain dibuat di bawahnya sehingga massa utama dari keseluruhan sistem akan mempunyai amplitudo getaran yang sangat kecil alih-alih amplitudo yang sangat besar akibat eksitasi yang diberikan.

Ø  PRINSIP KETEGAKLURUSAN (ORTHOGONALITY PRINCIPLE)

Modus prinsipal getaran sistem yang mempunyai dua derajat kebebasan adalah tegak lurus. Prinsip ini dikenal dengan prinsip ketegak lurusan (orthogonality prin­ciple). Sifat penting modus prinsipal yaitu getaran satu sama lain saling tegak lurus yang sangat berguna untuk menghitung frekuensi pribadi. Meskipun modus prinsipal sistem de­ngan lebih dari tiga derajat kebebasan secara harfiah tidak boleh tegak lurus ke yang lainnya, prinsip ketegaklurusan masih berlaku.

Prinsip ketegaklurusan sistem dua derajat kebebasan bisa ditulis menjadi :

m₁A_lA₂ + m₂B1B₂ = 0

di mana A_l, A₂,B_l,B₂, adalah amplitudo dua buah koordinat modus getaran pertama dan ke dua.

Ø  SISTEM SEMI-TERTENTU (SEMI-DEFINITE SYSTEMS)

Kadang-kadang, bila salah satu akar persamaan frekuensi sistem getaran sama dengan nol, hal ini menunjukkan bahwa salah satu frekuensi pribadi sistem sama dengan nol. Sis­tem seperti itu dikenal dengan sistem semi tertentu. Secara sederhana hal ini berarti bahwa sistem akan bergerak seperti benda kaku tanpa adanya penyimpangan pegas dan dashpots yang menghubungkan bagian-bagian dari sistem.

Ø  PERSAMAAN GERAK HUKUM NEWTON II

Pada sebuah Gambar.4.1 yang memperlihatkan sistem dua derajat kebebasan yang dapat diturunkan dengan menggunakan Hukum Newton II untuk setiap individu massa.

Assumsikan peredam adalah viscous dan displacement nya adalah x₁(t) dan x₂(t) diukur dari posisi keseimbangan kedua massa. Dari FBD dapat  dihitung jumlah gaya-gaya dalam arah sumbu vertical:

yang dapat diatur kembali:

Kedua gerakan tersebut saling mempengaruhi satu sama lain, yaitu gerak x₁(t) dari massa m₁ dipengaruhi oleh x₂(t) dari massa m₂ dan sebaliknya.

Term kopel dalam pers.(4.1.) pertama adalah  dan dalam pers.(4.1) kedua adalah .

Dalam bentuk matrix pers.(4.1) ditulis:

Atau

Matrix 2 x 2 : M (mass matrix), C (damping matrix), dan K (stiffness matrix).

Matrix 2 x 1 :  

Dan matrix 2 x 1  (force vector).

Bentuk umum pers gerak untuk sistem dua derajat kebebasan, yaitu :

Atau

Pers (4.5) juga menyatakan gerak bagi sistem n derajat kebebasan  bila M, C, dan K adalah order ke n, yaitu :

Generalized coordinates , dan vector generalized force  adalah :

Undamped Free Vibration: Principal Modes

Dalam kasus ini akan dibahasa, Gambar.4.2.:

1. Metoda bagi perhitungan frequency natural
2. mode vibrasi

Gambar.4.2 Mode Vibrasi

Dengan tidak adanya damping, pers 4.2 menjadi :

Karena pers tersebut adalah linear dan homogeneous, maka solusinya dapat diekpresikan sebagai berikut ini :

Asumsikan, satu dari komponen harmoniknya :

Substitusikan pers 4.11 kedalam 4.9, dan membaginya dengan factor sin (wt+y), didapat :

Pers 4.12 adalah homogenous linear dalam A₁ dan A₂. Determinan D(w) dari koefisien A₁ dan A₂ disebut characteristic determinant, yang bila nilainya disamakan dengan nol, didapat persamaan frekuensi dari sistem tersebut yang kemudian didapat nilai w yaitu :

Dari sini kita dapatkan :

Harga w dari pers.4.14 adalah ±w₁ dan ±w₂ dan kita ambil nilai yang positif. Dan dengan superposition,solusi pers.4.11:

Subscript menunjukkan sebagai contoh, yaitu A₁₂ adalah amplitudo dari x₁(t) pada frekuensi  w=w₂.

Dengan mensubstitusikan  kedalam pers.4.12, didapatkan :

Dimana u adalah konstanta yang menentukan relative amplitudo pada masing-masing frekuensi natural  w₁  dan w₂. Thus,pers.4.15 menjadi :

Disini: : konstanta integrasi yg ditentukan berdasarkan kondisi awal.

Prinsipal atau natural mode terjadi bila semua sistem menjadi synchronisasi gerak harmonik pada satu frekuensi natural seperti dalam Gambar 4.2(b). Sebagai contoh mode pertama terjadi bila A₁₂=0 dalam pers.4.17, yaitu :

           atau

Disini: disebut modal vector atau eigenvector. Harga adalah harmonik.

Analog, mode kedua (2^nd mode) terjadi bila A₁₁ dlm pers.4.17 sama dengan nol, yaitu :

   

:2^nd mode dari modal vector.

Fungsi harmonik dari gerak x₁(t) danx₂(t) dalam pers.4.17 dapat diekpresikan sebagai berikut:

Dan modal matrix  adalah:

Disini:

Dan  disebut principal koordinat:

Modal matrix

Contoh:

1.Lihat Gambar.4-2(a),bila m1=m2=m dan k1=k2=k,kondisi awal ,hitunglah frekuensi natural dan vector displacement  sistem tersebut.

Jawab:

   

Sumber:

Dr. Ir. Abdul Hamid M.Eng, Getaran Mekanis, PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB                              AN MEKANIS